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  • Zielgruppe: 11. - 12. Schuljahr
  • Benötigte Kenntnisse: Vektoren
  • Lernziele:
    • Die Schülerinnen und Schüler können durch systematische Veränderung von Parametern alle regelmässigen Polyeder unter verschiedenen Ansichten darstellen
    • Die Schülerinnen und Schüler können räumliche Strukturen aus mehren Polyedern mit transparenten Flächen erzeugen.
  • Zeitlicher Aufwand: 4 Lektionen
  • Eingesetzte Software: PovRay
  • Autor: Martin Guggisberg, Gymnasium Leonard
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Regelmässige Polyeder

Geometrische Raumstrukturen bilden die Grundlage für Raumkompositionen in der Architektur. Aus Polyedern können modulare Raumstrukturen durch Zusammenfügung erzeugt werden. Zerlegungen und Umstülpungen (z.B. Umstülpbarer Würfel von Paul Schatz http://www.paul-schatz.ch/) entwickeln komplexere bewegliche Raumstrukturen aus einfachen Strukturen. Das Beispiel der "Hoberman Sphere" zeigt, wie spielerisch gefundene bewegliche Raumstrukturen in der Architektur umgesetzt werden können (Olympischer Bogen in Salt Lake City 2002, http://en.wikipedia.org/wiki/Chuck_Hoberman). Die Annäherung der Kugel durch Raumstruktu-ren ist ein wiederkehrendes Thema das auf unterschiedliche Weise angegangen wird. Richard Buckminster Fullers geodätische Kuppeln sind hierfür ein Beispiel.

Seit der Antike waren die Menschen von Polyedern mit hohem Symmetriegrad fasziniert. Als Polyeder (griech. poly.. - viel.. und hedra - Fläche) werden in der Geometrie Körper bezeichnet, die aus mehreren Polygonen (griech. poly.. und gonia - Ecke,Winkel) gebildet werden.

Es gibt genau fünf reguläre Polyeder : Tetraeder (Vierflächner), Hexaeder (Sechsflächner), Oktaeder (Achtflächner), Dodekaeder (Zwölfflächner) und Ikosaeder (Zwanzigflächner). Hierbei nimmt der Tetraeder eine besondere Stellung ein. Er ist der spitzeste und scharfkantigste der fünf Körper und der einzige bei dem jede Ecke von jeder anderen Ecke den gleichen Abstand hat.

PovRay ist ein exzellentes Werkzeug für den Mathematikunterricht. Es unterstützt das „explorative Lernen“ – Schülerinnen und Schüler können von einer Ausgangsbedingung, z. B. einen Würfel, neue geometrische Objekte durch Anfügen oder Abschneiden von Kanten erschaffen. Sie können ihre neuen Objekte unter verschiedenen Projektionen untersuchen und Kategorisieren (In Winkipedia finden die Schülerinnen und Schüler Informationen zu platonischen Körpern, Archimedischen Körpern und Catalanischen Körpern).

Mögliche Aufgaben für Schülerinnen und Schüler

1) Untersuchung von Symmetrie

Durch Veränderung der Kamera Position können die unterschiedlichen Symmetrien der regelmässigen Polyeder untersucht und aufgezeigt werden.

2) An welchen Positionen der Kamera erscheint eine Fläche unverzerrt?

Die Schülerinnen und Schüler suchen eine optimale Kameraposition, so dass eine Würfelseite als Quadrat, eine Seite eines Oktaeders als gleichseitiges Dreieck oder eine Fläche eines Dodekaeders als regelmässiges Fünfeck erscheint.

3) Vergleich der perspektivischen und orthogonalen Projektion

Durch Änderung der Eigenschaften der virtuellen Kamera können an unterschiedlichen Beispielen die orthogonale mit der perspektivischen Projektion verglichen werden.

4) Dualität von Polyedern

Die Schülerinnen und Schüler untersuchen durch welche elementaren Konstruktionen die Körper in neue Körper verwandelt werden können.