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  • Zielgruppe: 12. - 13. Schuljahr
  • Benötigte Kenntnisse: Vektoren, Raumgeometrie, Constructive Solid Geometry (CSG), Rekursion
  • Lernziele:
    • Die Schülerinnen und Schüler können mit Hilfe von CSG dreidimensionale Objekte visualisieren.
    • Die Schülerinnen und Schüler verstehen das Prinzip der stereoskopischen Kamera und können eigene Flugbahnen definieren.
  • Zeitlicher Aufwand: 4 Lektionen
  • Eingesetzte Software: PovRay
  • Autor: Beat Trachsler, KZO Wetzikon
  • Projekt Herunterladen
  • S3D-Video auf YouTube anschauen

Menger-Schwamm

Die Grundidee hinter dem Menger-Schwamm ist recht einfach: Man geht von einem Würfel aus und teilt jede Seitenfläche schachbrettartig in 9 gleich grosse Quadrate ein. In diesem Gitter stanzt man durchgehend von vorne nach hinten ein quaderförmiges Loch durch das mittlere Quadrat. Das gleiche macht man auch von der Deckfläche zur Grundfläche und von der linken Seitenfläche zur rechten Seitenfläche. Wiederholt man diese Konstruktion für jeden der verbleibenden 20 Teilwürfel rekursiv über mehrere Stufen, erhält man ein Fraktal, den Menger-Schwamm.

Zur Erzeugung der 3D-Computergrafiken wird der Raytracer POV-Ray verwendet. Beim Raytracing werden ausgehend vom virtuellen Augpunkt Sehstrahlen durch sämtliche Pixel der Bildebene geschickt. Diese Sehstrahlen werden rekursiv durch die virtuelle Szene verfolgt, wobei die Gesetze der Strahlenoptik (Reflexion, Brechung, etc.) berücksichtigt werden. Die Szene wird von zwei Kamerapositionen aus gerendert, einmal für das linke und einmal für das rechte Auge. Die Einstellungen der stereoskopischen Kamera sind dabei etwas komplizierter als gewohnt, weil zusätzlich der Augenabstand und der Fokuspunkt, auf den die beiden virtuellen Objektive fokussieren, berücksichtigt werden müssen. Für diese Einstellungen benützen wir in Anlehnung an Arbeiten von Paul Bourke und Wolfgang Wieser (Vgl. Bourke, 2007 und Wieser, 2004) Makros, welche mit #include eingebunden werden können. Neben den üblichen Kameraeinstellungen verlangen diese Makros die Parameter o_ und f_. Dabei steht o_ für „eye offset“ und bezeichnet den halben Augenabstand, während f_ für den bereits erwähnten Abstand des Fokuspunktes steht.

Mögliche Aufgaben für Schülerinnen und Schüler

1) Zeichnen Sie den Menger-Schwamm mit verschiedenen Rekursionstiefen

Finden Sie im PoV-Ray Programm die entsprechende Stelle und erhöhen Sie die Rekursionstiefe. Welches ist die maximale Rekursionstiefe?

2) Suchen Sie einen eigenen Weg (Flugbahn) durch den Menger-Schwamm

Die Schülerinnen und Schüler suchen einen Weg mit dem Ziel, dass der Flug durch den Menger-Schwamm realitätsnah aussieht.

Weitere Informationen:
Creating stereoscopic left-right image pairs with POVRay (Wieser, 2004)
Additional cameras, mostly stereoscopic, for PovRay (Bourke, 2007)
http://www.bathsheba.com/math/menger/
http://mathforum.org/advanced/robertd/sponge.html